종이 접기의 끝은?
질문을 하나 던집니다.
'종이접기'의 '본질'은 무엇인가?
종이를 접는 일이 있습니다.
자, 우리가 종이를 접으려 한다면 이론상 정확하게 반으로 접어야 다음 접기동작을 이어갈 수 있습니다. 그럼 그 종이를 접은 상태에서 또 접고, 그 상태에서 또 접고 하는 것을 몇 번까지 계속할 수 있을까요?
정말 씰데없는 일을 하는 사람이, 씰데없는 궁리질을 하는 사례에 불과한 일입니다.
그런데 위의 논리대로 행한다면 10번 이상 반복하는 건 불가능하다고 합니다.
(8번이 최대치라는 얘기도 있습니다.)
왜 그럴까요?
그것은 두께의 증가 속도 때문입니다. 접을 때마다 접힌 종이의 전체 두께는 두 배로 두꺼워지므로, 10번 계속 접으면 210으로 1024배로 두꺼워집니다. 이것은 종이를 10번 접으면 종이가 점점 두꺼워지고, 장력도 엄청 강해져서 접기 힘들게 되기는 하지만 아예 못 접을 정도는 아니라는 말입니다.
그럼 상상의 나래를 펼쳐봅니다. 현실적으로 가능한 이야기 말고 머릿속에서 굴려보는 이야기말입니다.
A4 용지를 15번(3.3만배)에서 20번(104만 배) 정도 접으면 이론상 지구에서 달까지 거리에 도달한다는 얘기가 있습니다.
또 다른 이야깃거리도 있습니다.
신문지를 14번 접으면 약 160cm 정도 높이에 도달합니다.
계속 접어서 23번 접게 되면 세계에서 가장 높은 건물인 두바이의 부르즈 할리파(828m) 보다 높아지며(839m)
27번을 접으면 에베레스트 산(8,848m) 위에 몽블랑 산(4,807m)을 올려놓은 높이(13,656m)와 비슷한 13,400m가 됩니다.
다시, 36번을 접으면
지구의 반지름(6,357~6,378km)보다 길어지며(6,872km),
42번을 접으면 명왕성을 포함한 모든 태양계 행성의 지름을 합한 것(395,130km)보다 더 높은 439,800km가 되고,
50번을 접게 되면 태양에서 금성까지의 거리(1억 820만~1억 890만km)보다 더 긴 112,600,000km에 도달합니다.
접힌다는 가정 하에 생각하면 그렇게 된다는 이야기입니다.
그렇다면, 하나의 종이를 과연 몇 번 접으면 그 두께가 관측 가능한 우주를 넘어서게 될까요?
이론상으로 볼 때, 하나의 종이를 103번 접으면 930억 광년까지 갈 수 있는 두께가 된다고 합니다. 참, 씰데없는 계산을 했군요. 누군지 모르지만..
이 같은 계산결과가 나오는 것은 간단한 이치때문입니다. 어느 순간부터 종이 두께가 기하급수적으로 증가하는 거죠. 평균적인 종이의 두께인 0.1mm를 가정해 봅니다. 이 종이는 반으로 접을 때마다 그 두께가 2배씩 증가합니다. 즉 2번 접으면 처음보다 4배의 두께가 되고 반복하면 할수록 종이 두께는 순식간에 불어나는 겁니다.
3번 접으면 대략 손톱만큼, 7번 접으면 종이의 두께는 128페이지의 노트와 같은 두께가 됩니다.
10번 접으면 손의 폭만큼 두꺼워지며, 23번 접으면 종이 두께는 무려 1km에 달합니다. 오마이갓!
이렇게 30번을 접으면 100km가 되고 지상에서 출발하여 우주에 도달할 수 있는 높이만큼의 폭을 확보하는 것이죠.
계속해서 종이접기를 합니다.
종이를 42번 반으로 접으면 달에 도달하는 두께가 됩니다.
51회 접으면 태양까지 갈 수 있는 거리만큼 두꺼워집니다.
81번 반으로 접힌 종이의 두께는 12만 7천786광년 거리에 도달할 수 있는 정도가 되는데 이는 안드로메다 은하의 크기와 같은 두께입니다.
이런 식으로 103번까지 종이 접기를 계속하면
종이 두께는 관측 가능한 우주의 크기를 능가하는 두께가 되며,
그 거리는 무려 930억 광년에 달합니다. 이거야 원, 완존 말장난에 당신은 낚이신 겁니다. 이제 눈치 까셨죠?
정치하는 사기꾼들 말에 혹하면
이것에 낚인 것처럼 어처구니없는 꼴이 됩니다.
2025년 대한민국은,
개쓰레기 한 마리와
개사기꾼 한 마리와
개싸가지 한 마리 즉, 개새끼 세 마리가 나와서 개판치고 분탕질 치는 형국이라고 해도 할 말없지 않습니까?
각설하고
다시 '종이접기'로 돌아갑니다.
종이 접기의 기록보유자
현재까지 종이접기 세계 기록은 브리트니 걸리번이란 여성이 보유하고 있으며
12번 접은 게 최고입니다.
Most times to fold a piece of paper
Who : Britney Gallivan
What : 12 total number
Where : United States (Ponoma)
When : 27 January 2002
2002년 1월, 브리트니 갤리번(Britney Gallivan)이라는 여고생이 종이를 12번 접는 데 성공한 적이 있었습니다. 당시 갤리번이 접은 종이는 길이가 1219m에 달하는 아주 길쭉한 종이였다고 합니다. 위의 사진에 나오는 하얀 천 같은 뭉치가 바로 그 종이 접기한 결과물인 모양입니다.
종이 한 장을 8번 이상 반으로 접는 것은 불가능하다는 것이 정설이었습니다.
2002년 1월 27일, 미국 캘리포니아주 포모나(Pomona) 출신의 고등학생 브리트니 갤리번은 한 장의 종이를 12번 접었고, 한 장의 종이를 9, 10, 11, 12번 접는 데 성공한 최초의 사람이 되었습니다.
사용된 티슈는 길이가 4,000피트(1,219m, 0.75마일)였습니다.
챌린지를 준비하면서 갤리번은 접기의 기준과 기하학적 접기 과정을 궁극적으로 제한하는 현상을 파악했습니다.
그녀는 단일 방향 접기(L=πt/6(2ⁿ+4)(2ⁿ-1))와
교차 방향 접기(W=πt(2ⁿ-1)/2)에 대한 수학 방정식을 도출했습니다.
이 방정식은 필요한 종이의 길이(L), 종이의 두께(t), 정사각형 재료의 최소 너비(W), 그리고 가능한 접는 횟수(n) 사이의 관계를 보여줍니다.
이는 그녀의 저서 『종이를 12번 반으로 접는 법』에 자세히 설명되어 있습니다.
BBC에서 이 기록을 깨 보려고 그녀의 공식을 사용해 13회 접기에 도전한 적이 있었습니다.
접는 데 필요한 길이가 약 2038m로 계산되었었는데, 보다 확실하게 하기 위해 3000m에 달하는 종이를 사용하여 성공을 거두었다고 하네요. 기네스북에 공식 등록된 것은 아닙니다. 뭐, 사진을 보니 종이 길이만 길다면 한번 더 접어서 13번 접기를 시도하는 게 아주 불가능해 보이지는 않는 듯합니다.
종이 접기와 수학
브리트니 갤리번(Britney Gallivan)은 위에서 소개한 바와 같이
'단일방향 접기'와 '교차방향 접기'의 공식을 도출해 냈습니다.
여기서 단순히 반으로 접었을 때 무슨 일이 일어나는지 생각해 봅니다.
종이의 크기가 줄어들겠죠. 즉 크기 1인 종이를 반으로 접으면 넓이가 1/2이 됩니다. 두 번 접으면?
처음 것의 (1/2)²=1/2²=1/4이 되겠죠.
물론 종이의 두께나 길이를 생각하지 않은 수학 계산식에 불과합니다.
실제로 종이를 접을 때는 무슨 일이 일어나죠?
종이를 접을 때마다 접히는 모서리 부분이 생기는데 그 부분이 차지하는 넓이가 의외로 넓습니다. 따라서 넓이는 이보다 더 줄어들기 때문에 종이를 접으면 접을수록 사각형 모양을 유지하지 못하고 찌그러지게 됩니다.
여기서 브리트니가 찾은 종이 반 접기 공식에 대하여 알아봅니다.
단일방향으로 종이접기
두께가 t이고 길이가 L인 종이를 한 번 접으면 종이의 최소 길이는 접히면서 생기는 반원의 호의 길이이므로 πt입니다.
두 번 접는 경우는 반지름의 길이가 2t인 반원 하나와 반지름의 길이가 t인 반원 두 개가 만들어지므로 최소 길이가 4πt이어야 합니다.
3번 접으면 둘레의 길이가 각각 4πt인 반원이 1개, 3πt인 반원이 1개, 2πt인 반원은 2개, πt인 반원은 3개가 있어야 하므로 이들을 모두 합하면 최소 길이가 14πt인 종이가 필요하게 됩니다.
한쪽 방향으로 종이를 접어갈 때 종이의 최소 길이는 πt, 4πt, 14πt… 등이 되고,
브리트니는 이 수열의 일반항을 구한 것입니다.
즉, 종이를 한쪽 방향으로만 접어갈 때, t를 종이의 두께, L을 종이의 길이, n을 접는 횟수라면 이들 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.
L=πt/6(2ⁿ+4)(2ⁿ-1)
교차방향으로 종이접기
이와 같은 방법으로 브리트니는 종이를 번갈아 접는 경우의 공식도 찾아냈는데,
가로의 길이와 세로의 길이의 비가 1:2인 직사각형 모양의 종이의 가로의 길이를 W라면 다음과 같은 관계가 성립합니다.
W=πt(2ⁿ-1)/2
브리트니는 고등학교를 졸업하고 캘리포니아 주립 버클리대학교에 입학했습니다.
그녀가 고등학생일 때 고안한 이 종이 반 접기 공식은 여러 수학책에 소개되었습니다. 종이가 아무리 거대하거나 혹은 그 두께가 상상을 초월할 만큼 얇다 하더라도 8번 이상은 접을 수 없다는 세간의 고정관념을 보기 좋게 깨뜨린 것입니다. 그녀는 종이를 한쪽 방향으로(single direction) 접을 때의 공식을 찾았고, 이듬해 1월에는 종이를 번갈아(alternate direction) 접을 때의 공식도 완성했습니다.
여기서 한 가지 놓치신 것이 있죠?
바로 종이의 길이입니다. 12번 혹은 13번 종이 접기를 하기 위해서는 그만큼의 종이 접기가 가능한 종이길이가 필요한 것입니다. 이건 뭐, 거의 말장난같은 얘기가 되어 버렸네요. 종이를 끝없이 길게 만들면 그만큼 더 많은 종이접기가 가능해지는 건 당연지사가 아닙니까?